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與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段知識(shí)點(diǎn) 圓中比例線(xiàn)段的題目解法篇一
1、教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn):相交弦定理及其推論,切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn),而且還是中考試題的熱點(diǎn);這些定理和推論是重要的工具性知識(shí),主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證實(shí).
難點(diǎn):正確地寫(xiě)出定理中的等積式.因?yàn)閳D形中的線(xiàn)段較多,學(xué)生輕易混淆.
2、教學(xué)建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí).第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論,做例1和例2.第2課時(shí)介紹切割線(xiàn)定理及其推論,做例3.第3課時(shí)是習(xí)題課,講例4并做有關(guān)的練3.
(1)教師通過(guò)教學(xué),組織學(xué)生自主觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題,逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)意識(shí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情;
(2)在教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生“觀(guān)察——猜想——證實(shí)——應(yīng)用”等學(xué)習(xí),教師組織下,以學(xué)生為主體開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).
第1課時(shí):相交弦定理
教學(xué)目標(biāo):
1.理解相交弦定理及其推論,并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證實(shí)和計(jì)算;
2.學(xué)會(huì)作兩條已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng);
3.通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神;
4.通過(guò)推論的推導(dǎo),向?qū)W生滲透由一般到非凡的思想方法.
教學(xué)重點(diǎn):
正確理解相交弦定理及其推論.
教學(xué)難點(diǎn):
在定理的敘述和應(yīng)用時(shí),學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線(xiàn)段搞混,從而導(dǎo)致證實(shí)中發(fā)生錯(cuò)誤,因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證實(shí)過(guò)程,了解是哪兩個(gè)三角形相似,從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)出定理.
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
(一)設(shè)置學(xué)習(xí)情境
1、圖形變換:(利用電腦使ab與cd弦變動(dòng))
①引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖形,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:∠a=∠d,∠c=∠b.
②進(jìn)一步得出:△apc∽△dpb.
.
③假如將圖形做些變換,去掉ac和bd,圖中線(xiàn)段 pa,pb,pc,po之間的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學(xué)生觀(guān)察,并回答.
2、證實(shí):
已知:弦ab和cd交于⊙o內(nèi)一點(diǎn)p.
求證:pa·pb=pc·pd.
(a層學(xué)生要練習(xí)學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證實(shí);b、c層學(xué)生在老師引導(dǎo)下完成)
(證實(shí)略)
(二)定理及推論
1、相交弦定理: 圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等.
結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理:在⊙o中;弦ab,cd相交于點(diǎn)p,那么pa·pb=pc·pd.
2、從一般到非凡,發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,使其中一條是直徑,并且它們互 相垂直如圖,ab是直徑,并且ab⊥cd于p.
提問(wèn):根據(jù)相交弦定理,能得到什么結(jié)論?
指出:pc2=pa·pb.
請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái),假如敘述不完全、不準(zhǔn)確.教師糾正,并板書(shū).
推論 假如弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng).
3、深刻理解推論:由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,上述結(jié)論又可敘述為:半圓上一點(diǎn)c向直徑ab作垂線(xiàn),垂足是p,則pc2=pa·pb.
若再連結(jié)ac,bc,則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形,于是有:
pc2=pa·pb ;ac2=ap·ab;cb2=bp·ab
(三)應(yīng)用、反思
例1 已知圓中兩條弦相交,第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段,第二條弦的長(zhǎng)為32厘米,求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng).
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解.
例2 已知:線(xiàn)段a,b.
求作:線(xiàn)段c,使c2=ab.
分析:這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式,因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線(xiàn)段a十b為直徑的半圓,仿照推論即可作出要求作的線(xiàn)段.
作法:口述作法.
反思:這個(gè)作圖是作兩已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題,可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用.同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖.
練習(xí)1 如圖,ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp=1厘米,求cd.
變式練習(xí):若ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp,dp的長(zhǎng)度皆為整數(shù).那么cd的長(zhǎng)度是 多少?
將條件隱化,增加難度,提高學(xué)生學(xué)習(xí)愛(ài)好
練習(xí)2 如圖,cd是⊙o的直徑,ab⊥cd,垂足為p,ap=4厘米,pd=2厘米.求po的長(zhǎng).
練習(xí)3 如圖:在⊙o中,p是弦ab上一點(diǎn),op⊥pc,pc 交⊙o于c. 求證:pc2=pa·pb
引導(dǎo)學(xué)生分析:由ap·pb,聯(lián)想到相交弦定理,于是想到延長(zhǎng) cp交⊙o于d,于是有pc·pd=pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc=pd問(wèn)題得證.
(四)小結(jié)
知識(shí):相交弦定理及其推論;
能力:作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力;
思想方法:學(xué)習(xí)了由一般到非凡(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法.
(五)作業(yè)
教材p132中 9,10;p134中b組4(1).
第2課時(shí) 切割線(xiàn)定理
教學(xué)目標(biāo):
1.把握切割線(xiàn)定理及其推論,并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證實(shí);
2.把握構(gòu)造相似三角形證實(shí)切割線(xiàn)定理的方法與技巧,培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力
3.能夠用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)學(xué)習(xí)切割線(xiàn)定理及其推論,培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀(guān)點(diǎn).
教學(xué)重點(diǎn):
理解切割線(xiàn)定理及其推論,它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理.
教學(xué)難點(diǎn):
定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系是難點(diǎn).
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
(一)提出問(wèn)題
1、引出問(wèn)題:相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn).假如兩弦延長(zhǎng)交于圓外一點(diǎn)p,那么該點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的四條線(xiàn)段pa,pb,pc,pd的長(zhǎng)之間有什么關(guān)系?(如圖1)
當(dāng)其中一條割線(xiàn)繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時(shí),由圓外這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)和該點(diǎn)的切線(xiàn)長(zhǎng)pa,pb,pt之間又有什么關(guān)系?
2、猜想:引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線(xiàn)段pt,pa,pb間的關(guān)系為pt2=pa·pb.
3、證實(shí):
讓學(xué)生根據(jù)圖2寫(xiě)出已知、求證,并進(jìn)行分析、證實(shí)猜想.
分析:要證pt2=pa·pb, 可以證實(shí),為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt,bp為邊的三角形相似,于是考慮作輔助線(xiàn)tp,pb.(圖3).輕易證實(shí)∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是問(wèn)題可證.
4、引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)上述結(jié)論.
切割線(xiàn)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn),切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).
(二)切割線(xiàn)定理的推論
1、再提出問(wèn)題:當(dāng)pb、pd為兩條割線(xiàn)時(shí),線(xiàn)段pa,pb,pc,pd之間有什么關(guān)系?
觀(guān)察圖4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.
2、組織學(xué)生用多種方法證實(shí):
方法一:要證pa·pb=pc·pd,可證此可證以pa,pc為邊的三角形和以pd,pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線(xiàn)ac,bd,輕易證實(shí)∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如圖4)
方法二:要證,還可考慮證實(shí)以pa,pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似,所以考慮作輔助線(xiàn)ad、cb.輕易證實(shí)∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三:引導(dǎo)學(xué)生再次觀(guān)察圖2,2=pa·pb,同時(shí)pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
推論:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn),這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等.(也叫做割線(xiàn)定理)
(三)初步應(yīng)用
例1 已知:如圖6,⊙o的割線(xiàn)pab交⊙o于點(diǎn)a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半徑.
分析:由于po既不是⊙o的切線(xiàn)也不是割線(xiàn),故須將po延長(zhǎng)交⊙o于d,構(gòu)成了圓的一條割線(xiàn),而od又恰好是⊙o的半徑,于是運(yùn)用切割線(xiàn)定理的推論,問(wèn)題得解.
(解略)教師示范解題.
例2 已知如圖7,線(xiàn)段ab和⊙o交于點(diǎn)c,d,ac=bd,ae,bf分別切⊙o于點(diǎn)e,f,
求證:ae=bf.
分析:要證實(shí)的兩條線(xiàn)段ae,bf均與⊙o相切,且從a、b 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線(xiàn)acd和bdc在同一直線(xiàn)上,且ac=bd,ad=bc. 因此它們的積相等,問(wèn)題得證.
學(xué)生自主完成,教師隨時(shí)糾正學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.
鞏固練習(xí):p128練習(xí)1、2題
(四)小結(jié)
知識(shí):切割線(xiàn)定理及推論;
能力:結(jié)合具體圖形時(shí),應(yīng)能寫(xiě)出正確的等積式;
方法:在證實(shí)切割線(xiàn)定理和推論時(shí),所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要,應(yīng)注重很好地把握.
(五)作業(yè)教材p132中,11、12題.
探究活動(dòng)
最佳射門(mén)位置
國(guó)際足聯(lián)規(guī)定法國(guó)世界杯決賽階段,比賽場(chǎng)地長(zhǎng)105米,寬68米,足球門(mén)寬7.32米,高2.44米,試確定邊鋒最佳射門(mén)位置(精確到l米).
分析與解 是足球門(mén),點(diǎn)p是邊鋒所在的位置.最佳射門(mén)位置應(yīng)是使球員對(duì)足球門(mén)視角最大的位置,即向p上方或下方移動(dòng),視角都變小,因此點(diǎn)p實(shí)際上是過(guò)a、b且與邊線(xiàn)相切的圓的切點(diǎn),如圖1所示.即op是圓的切線(xiàn),而ob是圓的割線(xiàn).
故 ,又 ,
ob=30.34 7.32=37.66.
op= (米).
注:上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段知識(shí)點(diǎn) 圓中比例線(xiàn)段的題目解法篇二
教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生理解切割線(xiàn)定理及其推論；2、使學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切割線(xiàn)定理及其推論.3、通過(guò)對(duì)切割線(xiàn)定理及推論的證明，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力；4、通過(guò)對(duì)切割線(xiàn)定理及其推論的初步運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題能力.在上節(jié)我們?cè)?jīng)學(xué)到相交弦定理及其推論，它反映了圓中兩弦的數(shù)量關(guān)系；我們可以用同樣的方法來(lái)研究圓的一條切線(xiàn)和一條割線(xiàn)的數(shù)量關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)： 使學(xué)生理解切割線(xiàn)定理及其推論，它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)生不能準(zhǔn)確敘述切割線(xiàn)定理及其推論，針對(duì)具體圖形學(xué)生很容易得到數(shù)量關(guān)系，但把它用語(yǔ)言表達(dá)，學(xué)生感到困難.教學(xué)過(guò)程：一、新課引入：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)相交弦定理及其推論，現(xiàn)在我們用同樣的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)研究圓的另外的比例線(xiàn)段.二、新課講解：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上畫(huà)⊙o，在⊙o外一點(diǎn)p引⊙o的切線(xiàn)pt，切點(diǎn)為t，割線(xiàn)pba，以點(diǎn)p、b、a、t為頂點(diǎn)作三角形，可以作幾個(gè)三角形呢？它們中是否存在著相似三角形？如果存在，你得到了怎樣的比例線(xiàn)段？可轉(zhuǎn)化成怎樣的積式？現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)練習(xí)本，按要求作⊙o的切線(xiàn)pt和割線(xiàn)pba，后研究討論一下.學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，完成證明，教師巡視，當(dāng)所有學(xué)生都得到數(shù)量關(guān)系式時(shí)，教師打開(kāi)計(jì)算機(jī)或幻燈機(jī)用動(dòng)畫(huà)演示.最終教師指導(dǎo)學(xué)生把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)成語(yǔ)言敘述，完成切割線(xiàn)定理及其推論.1.切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).關(guān)系式：pt2=pa·pb
2.切割線(xiàn)定理推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn).這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等.數(shù)量關(guān)系式：pa·pb=pc·pb.
切割線(xiàn)定理及其推論也是圓中的比例線(xiàn)段，在今后的學(xué)習(xí)中有著重要的意義，務(wù)必使學(xué)生清楚，真正弄懂切割線(xiàn)定理的數(shù)量關(guān)系后，再把握定理敘述中的“從”、“引”、“切線(xiàn)長(zhǎng)”、“兩條線(xiàn)段長(zhǎng)”等關(guān)鍵字樣，定理敘述并不困難.練習(xí)一，p.128中1、選擇題：如圖7-86，⊙o的兩條弦ab、cd相交于點(diǎn)e，ac和db的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)p，下列結(jié)論成立的是?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? [??? ]
·ca=pb··ae=be··cd=be··pd=pc·pa答案：(d)，直接運(yùn)用和圓有關(guān)的比例線(xiàn)段進(jìn)行選擇.練習(xí)二，p.128中2、如圖7-87，已知：rt△abc的兩條直角邊ac、bc的長(zhǎng)分別為3cm、4cm，以ac為直徑作圓與斜邊ab交于點(diǎn)d，求bd的長(zhǎng).
此題已知rt△abc中的邊ac、bc，則ab可知.容易證出bc切⊙o于c，于是產(chǎn)生切割線(xiàn)定理，bd可求.練習(xí)三，p.128中3.如圖7-88，線(xiàn)段ab和⊙o交于c、d，ac=bd，ae、bf分別切⊙o于e、f.求證：ae=bf.
本題可直接運(yùn)用切割線(xiàn)定理.例3? p.127，如圖7-89，已知：⊙o的割線(xiàn)pab交⊙o于點(diǎn)a和b，pa=6cm，ab=8cm，po=10.9cm.求⊙o的半徑.
此題要通過(guò)計(jì)算得到⊙o的半徑，必須使半徑進(jìn)入一個(gè)數(shù)量關(guān)系式，觀(guān)察圖形，可知只要延長(zhǎng)po與圓交于另一點(diǎn)，則可產(chǎn)生切割線(xiàn)定理的推論，而其中一條割線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)圓心，在線(xiàn)段中自然可以參與進(jìn)半徑，從而由等式中求出半徑.必須使學(xué)生清楚這種數(shù)學(xué)思想方法，結(jié)合圖形，正確使用和圓有關(guān)的比例線(xiàn)段，則關(guān)系式中必有兩條線(xiàn)段是半徑的代數(shù)式構(gòu)成，只要解關(guān)于半徑的一元二次方程即可.解：設(shè)⊙o的半徑為r，po和它的長(zhǎng)延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙o于c、d.(10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正數(shù)解)答：⊙o的半徑為5.9.三、課堂小結(jié)：為培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材的習(xí)慣，讓學(xué)生看教材p.127—p.128.總結(jié)出本課主要內(nèi)容：1.切割線(xiàn)定理及其推論：它是圓的重要比例線(xiàn)段，它反映的是圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)所產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系.需要指出的是，只有從圓外一點(diǎn)，才可能產(chǎn)生切割線(xiàn)定理或推論.切割線(xiàn)定理是指一條切線(xiàn)和一條割線(xiàn)；推論是指兩條割線(xiàn)，只有使學(xué)生弄清前提，才能正確運(yùn)用定理.2.通過(guò)對(duì)例3的分析，我們應(yīng)該掌握這類(lèi)問(wèn)題的思想方法，掌握規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律.四、布置作業(yè)：1.教材? p.132中10；2.p.132中11.
與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段知識(shí)點(diǎn) 圓中比例線(xiàn)段的題目解法篇三
1、教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識(shí)，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證明.
難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式.因?yàn)閳D形中的線(xiàn)段較多，學(xué)生容易混淆.
2、教學(xué)建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí).第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時(shí)介紹切割線(xiàn)定理及其推論，做例3.第3課時(shí)是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3.
（1）教師通過(guò)教學(xué)，組織學(xué)生自主觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的熱情；
（2）在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“觀(guān)察——猜想——證明——應(yīng)用”等，教師組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).
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1.理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算；
2.學(xué)會(huì)作兩條已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)；
3.通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神；
4.通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法.
：
正確理解相交弦定理及其推論.
：
在定理的敘述和應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線(xiàn)段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯(cuò)誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)出定理.
情境
1、結(jié)合圖形讓學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點(diǎn)p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問(wèn)：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?
指出：pc2＝pa·pb.
請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確.教師糾正，并板書(shū).
3、深刻理解推論：由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)c向直徑ab作垂線(xiàn)，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結(jié)ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(zhǎng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng).
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解.
例2? 已知：線(xiàn)段a，b.
求作：線(xiàn)段c，使c2＝ab.
分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線(xiàn)段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線(xiàn)段.
作法：口述作法.
這個(gè)作圖是作兩已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用.同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖.
練習(xí)1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習(xí)：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長(zhǎng)度皆為整數(shù).那么cd的長(zhǎng)度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生興趣
練習(xí)2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長(zhǎng).
練習(xí)3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點(diǎn)，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導(dǎo)學(xué)生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(zhǎng) cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問(wèn)題得證.
（
知識(shí)：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力；
思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
：
1.掌握切割線(xiàn)定理及其推論，并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證明；
2.掌握構(gòu)造相似三角形證明切割線(xiàn)定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力
3.能夠用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)切割線(xiàn)定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀(guān)點(diǎn).
：
理解切割線(xiàn)定理及其推論，它是以后中經(jīng)常用到的重要定理.
：
定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系是難點(diǎn).
1、引出問(wèn)題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn).如果兩弦延長(zhǎng)交于圓外一點(diǎn)p，那么該點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的四條線(xiàn)段pa，pb，pc，pd的長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？(如圖1)
當(dāng)其中一條割線(xiàn)繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時(shí)，由圓外這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)和該點(diǎn)的切線(xiàn)長(zhǎng)pa，pb，pt之間又有什么關(guān)系？
2、猜想：引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線(xiàn)段pt，pa，pb間的關(guān)系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學(xué)生根據(jù)圖2寫(xiě)出已知、求證，并進(jìn)行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線(xiàn)tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問(wèn)題可證.
4、引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)上述結(jié)論.
（二）切割線(xiàn)定理的推論
1、再提出問(wèn)題：當(dāng)pb、pd為兩條割線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段pa，pb，pc，pd之間有什么關(guān)系?
觀(guān)察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學(xué)生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導(dǎo)學(xué)生再次觀(guān)察圖2，2=pa·pb，同時(shí)pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應(yīng)用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線(xiàn)pab交⊙o于點(diǎn)a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線(xiàn)也不是割線(xiàn)，故須將po延長(zhǎng)交⊙o于d，構(gòu)成了圓的一條割線(xiàn)，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運(yùn)用切割線(xiàn)定理的推論，問(wèn)題得解.
（解略）教師示范解題.
例2? 已知如圖7，線(xiàn)段ab和⊙o交于點(diǎn)c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點(diǎn)e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線(xiàn)段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線(xiàn)acd和bdc在同一直線(xiàn)上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問(wèn)題得證.
學(xué)生自主完成，教師隨時(shí)糾正學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結(jié)
知識(shí)：切割線(xiàn)定理及推論；
能力：結(jié)合具體圖形時(shí)，應(yīng)能寫(xiě)出正確的等積式；
方法：在證明切割線(xiàn)定理和推論時(shí)，所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門(mén)位置
國(guó)際足聯(lián)規(guī)定法國(guó)世界杯決賽階段，比賽場(chǎng)地長(zhǎng)105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門(mén)位置(精確到l米).
分析與解 是足球門(mén)，點(diǎn)p是邊鋒所在的位置.最佳射門(mén)位置應(yīng)是使球員對(duì)足球門(mén)視角最大的位置，即向p上方或下方移動(dòng)，視角都變小，因此點(diǎn)p實(shí)際上是過(guò)a、b且與邊線(xiàn)相切的圓的切點(diǎn)，如圖1所示.即op是圓的切線(xiàn)，而ob是圓的割線(xiàn).
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op= (米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段知識(shí)點(diǎn) 圓中比例線(xiàn)段的題目解法篇四
建議
1、教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識(shí)，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證明.
難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式.因?yàn)閳D形中的線(xiàn)段較多，學(xué)生容易混淆.
2、建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí).第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時(shí)介紹切割線(xiàn)定理及其推論，做例3.第3課時(shí)是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3.
（1）通過(guò)，組織學(xué)生自主觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；
（2）在中，引導(dǎo)學(xué)生“觀(guān)察——猜想——證明——應(yīng)用”等學(xué)習(xí)，組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展活動(dòng).
目標(biāo)：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算；
2.學(xué)會(huì)作兩條已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)；
3.通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神；
4.通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法.
重點(diǎn)：
正確理解相交弦定理及其推論.
難點(diǎn)：
在定理的敘述和應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線(xiàn)段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯(cuò)誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)出定理.
活動(dòng)設(shè)計(jì)
1、圖形變換：（利用電腦使ab與cd弦變動(dòng)）
①引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠a＝∠d，∠c＝∠b.
②進(jìn)一步得出：△apc∽△dpb.
.
③如果將圖形做些變換，去掉ac和bd，圖中線(xiàn)段 pa，pb，pc，po之間的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學(xué)生觀(guān)察，并回答.
2、證明：
已知：弦ab和cd交于⊙o內(nèi)一點(diǎn)p.
求證：pa·pb＝pc·pd.
（a層學(xué)生要訓(xùn)練學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明；b、c層學(xué)生在老師引導(dǎo)下完成）
（證明略）
1、
結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點(diǎn)p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問(wèn)：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?
指出：pc2＝pa·pb.
請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確.糾正，并.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)c向直徑ab作垂線(xiàn)，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結(jié)ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(zhǎng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng).
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解.
例2? 已知：線(xiàn)段a，b.
求作：線(xiàn)段c，使c2＝ab.
分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線(xiàn)段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線(xiàn)段.
作法：口述作法.
這個(gè)作圖是作兩已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用.同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖.
練習(xí)1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習(xí)：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長(zhǎng)度皆為整數(shù).那么cd的長(zhǎng)度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
練習(xí)2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長(zhǎng).
練習(xí)3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點(diǎn)，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導(dǎo)學(xué)生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(zhǎng) cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問(wèn)題得證.
（
知識(shí)：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力；
思想方法：學(xué)習(xí)了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
第 1 2 頁(yè) ?
與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段知識(shí)點(diǎn) 圓中比例線(xiàn)段的題目解法篇五
建議
1、教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識(shí)，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證明.
難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式.因?yàn)閳D形中的線(xiàn)段較多，學(xué)生容易混淆.
2、建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí).第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時(shí)介紹切割線(xiàn)定理及其推論，做例3.第3課時(shí)是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3.
（1）通過(guò)，組織學(xué)生自主觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；
（2）在中，引導(dǎo)學(xué)生“觀(guān)察——猜想——證明——應(yīng)用”等學(xué)習(xí)，組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展活動(dòng).
目標(biāo)：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算；
2.學(xué)會(huì)作兩條已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)；
3.通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神；
4.通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法.
重點(diǎn)：
正確理解相交弦定理及其推論.
難點(diǎn)：
在定理的敘述和應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線(xiàn)段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯(cuò)誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)出定理.
活動(dòng)設(shè)計(jì)
1、圖形變換：（利用電腦使ab與cd弦變動(dòng)）
①引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠a＝∠d，∠c＝∠b.
②進(jìn)一步得出：△apc∽△dpb.
.
③如果將圖形做些變換，去掉ac和bd，圖中線(xiàn)段 pa，pb，pc，po之間的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎?為什么?
組織學(xué)生觀(guān)察，并回答.
2、證明：
已知：弦ab和cd交于⊙o內(nèi)一點(diǎn)p.
求證：pa·pb＝pc·pd.
（a層學(xué)生要訓(xùn)練學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明；b、c層學(xué)生在老師引導(dǎo)下完成）
（證明略）
1、
結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點(diǎn)p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問(wèn)：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?
指出：pc2＝pa·pb.
請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確.糾正，并.
3、深刻理解推論：由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)c向直徑ab作垂線(xiàn)，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結(jié)ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(zhǎng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng).
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解.
例2? 已知：線(xiàn)段a，b.
求作：線(xiàn)段c，使c2＝ab.
分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線(xiàn)段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線(xiàn)段.
作法：口述作法.
這個(gè)作圖是作兩已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用.同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖.
練習(xí)1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習(xí)：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長(zhǎng)度皆為整數(shù).那么cd的長(zhǎng)度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
練習(xí)2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長(zhǎng).
練習(xí)3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點(diǎn)，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導(dǎo)學(xué)生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(zhǎng) cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問(wèn)題得證.
（
知識(shí)：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力；
思想方法：學(xué)習(xí)了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
目標(biāo)：
1.掌握切割線(xiàn)定理及其推論，并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證明；
2.掌握構(gòu)造相似三角形證明切割線(xiàn)定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力
3.能夠用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)學(xué)習(xí)切割線(xiàn)定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀(guān)點(diǎn).
重點(diǎn)：
理解切割線(xiàn)定理及其推論，它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理.
難點(diǎn)：
定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系是難點(diǎn).
活動(dòng)設(shè)計(jì)
1、引出問(wèn)題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn).如果兩弦延長(zhǎng)交于圓外一點(diǎn)p，那么該點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的四條線(xiàn)段pa，pb，pc，pd的長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？(如圖1)
當(dāng)其中一條割線(xiàn)繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時(shí)，由圓外這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)和該點(diǎn)的切線(xiàn)長(zhǎng)pa，pb，pt之間又有什么關(guān)系？
2、猜想：引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線(xiàn)段pt，pa，pb間的關(guān)系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學(xué)生根據(jù)圖2寫(xiě)出已知、求證，并進(jìn)行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線(xiàn)tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問(wèn)題可證.
4、引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)上述結(jié)論.
（二）切割線(xiàn)定理的推論
1、再提出問(wèn)題：當(dāng)pb、pd為兩條割線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段pa，pb，pc，pd之間有什么關(guān)系?
觀(guān)察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學(xué)生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導(dǎo)學(xué)生再次觀(guān)察圖2，2=pa·pb，同時(shí)pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應(yīng)用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線(xiàn)pab交⊙o于點(diǎn)a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線(xiàn)也不是割線(xiàn)，故須將po延長(zhǎng)交⊙o于d，構(gòu)成了圓的一條割線(xiàn)，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運(yùn)用切割線(xiàn)定理的推論，問(wèn)題得解.
（解略）示范解題.
例2? 已知如圖7，線(xiàn)段ab和⊙o交于點(diǎn)c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點(diǎn)e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線(xiàn)段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線(xiàn)acd和bdc在同一直線(xiàn)上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問(wèn)題得證.
學(xué)生自主完成，隨時(shí)糾正學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結(jié)
知識(shí)：切割線(xiàn)定理及推論；
能力：結(jié)合具體圖形時(shí)，應(yīng)能寫(xiě)出正確的等積式；
方法：在證明切割線(xiàn)定理和推論時(shí)，所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門(mén)位置
國(guó)際足聯(lián)規(guī)定法國(guó)世界杯決賽階段，比賽場(chǎng)地長(zhǎng)105米，寬68米，足球門(mén)寬7.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門(mén)位置(精確到l米).
分析與解 是足球門(mén)，點(diǎn)p是邊鋒所在的位置.最佳射門(mén)位置應(yīng)是使球員對(duì)足球門(mén)視角最大的位置，即向p上方或下方移動(dòng)，視角都變小，因此點(diǎn)p實(shí)際上是過(guò)a、b且與邊線(xiàn)相切的圓的切點(diǎn)，如圖1所示.即op是圓的切線(xiàn)，而ob是圓的割線(xiàn).
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op=(米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段知識(shí)點(diǎn) 圓中比例線(xiàn)段的題目解法篇六
1、教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識(shí)，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證明.
難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式.因?yàn)閳D形中的線(xiàn)段較多，學(xué)生容易混淆.
2、教學(xué)建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí).第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時(shí)介紹切割線(xiàn)定理及其推論，做例3.第3課時(shí)是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3.
（1）教師通過(guò)教學(xué)，組織學(xué)生自主觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的熱情；
（2）在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“觀(guān)察——猜想——證明——應(yīng)用”等，教師組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).
：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算；
2.學(xué)會(huì)作兩條已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)；
3.通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神；
4.通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法.
：
正確理解相交弦定理及其推論.
：
在定理的敘述和應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線(xiàn)段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯(cuò)誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)出定理.
情境
1、結(jié)合圖形讓學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點(diǎn)p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問(wèn)：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?
指出：pc2＝pa·pb.
請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確.教師糾正，并板書(shū).
3、深刻理解推論：由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)c向直徑ab作垂線(xiàn)，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結(jié)ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(zhǎng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng).
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解.
例2? 已知：線(xiàn)段a，b.
求作：線(xiàn)段c，使c2＝ab.
分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線(xiàn)段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線(xiàn)段.
作法：口述作法.
這個(gè)作圖是作兩已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用.同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖.
練習(xí)1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習(xí)：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長(zhǎng)度皆為整數(shù).那么cd的長(zhǎng)度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生興趣
練習(xí)2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長(zhǎng).
練習(xí)3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點(diǎn)，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導(dǎo)學(xué)生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(zhǎng) cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問(wèn)題得證.
（
知識(shí)：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力；
思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
：
1.掌握切割線(xiàn)定理及其推論，并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證明；
2.掌握構(gòu)造相似三角形證明切割線(xiàn)定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力
3.能夠用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)切割線(xiàn)定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀(guān)點(diǎn).
：
理解切割線(xiàn)定理及其推論，它是以后中經(jīng)常用到的重要定理.
：
定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系是難點(diǎn).
1、引出問(wèn)題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn).如果兩弦延長(zhǎng)交于圓外一點(diǎn)p，那么該點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的四條線(xiàn)段pa，pb，pc，pd的長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？(如圖1)
當(dāng)其中一條割線(xiàn)繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時(shí)，由圓外這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)和該點(diǎn)的切線(xiàn)長(zhǎng)pa，pb，pt之間又有什么關(guān)系？
2、猜想：引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線(xiàn)段pt，pa，pb間的關(guān)系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學(xué)生根據(jù)圖2寫(xiě)出已知、求證，并進(jìn)行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線(xiàn)tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問(wèn)題可證.
4、引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)上述結(jié)論.
（二）切割線(xiàn)定理的推論
1、再提出問(wèn)題：當(dāng)pb、pd為兩條割線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段pa，pb，pc，pd之間有什么關(guān)系?
觀(guān)察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學(xué)生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導(dǎo)學(xué)生再次觀(guān)察圖2，2=pa·pb，同時(shí)pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應(yīng)用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線(xiàn)pab交⊙o于點(diǎn)a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線(xiàn)也不是割線(xiàn)，故須將po延長(zhǎng)交⊙o于d，構(gòu)成了圓的一條割線(xiàn)，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運(yùn)用切割線(xiàn)定理的推論，問(wèn)題得解.
（解略）教師示范解題.
例2? 已知如圖7，線(xiàn)段ab和⊙o交于點(diǎn)c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點(diǎn)e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線(xiàn)段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線(xiàn)acd和bdc在同一直線(xiàn)上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問(wèn)題得證.
學(xué)生自主完成，教師隨時(shí)糾正學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結(jié)
知識(shí)：切割線(xiàn)定理及推論；
能力：結(jié)合具體圖形時(shí)，應(yīng)能寫(xiě)出正確的等積式；
方法：在證明切割線(xiàn)定理和推論時(shí)，所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門(mén)位置
國(guó)際足聯(lián)規(guī)定法國(guó)世界杯決賽階段，比賽場(chǎng)地長(zhǎng)105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門(mén)位置(精確到l米).
分析與解 是足球門(mén)，點(diǎn)p是邊鋒所在的位置.最佳射門(mén)位置應(yīng)是使球員對(duì)足球門(mén)視角最大的位置，即向p上方或下方移動(dòng)，視角都變小，因此點(diǎn)p實(shí)際上是過(guò)a、b且與邊線(xiàn)相切的圓的切點(diǎn)，如圖1所示.即op是圓的切線(xiàn)，而ob是圓的割線(xiàn).
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op= (米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段知識(shí)點(diǎn) 圓中比例線(xiàn)段的題目解法篇七
1、教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線(xiàn)定理和割線(xiàn)定理.這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識(shí)，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證明.
難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式.因?yàn)閳D形中的線(xiàn)段較多，學(xué)生容易混淆.
2、教學(xué)建議
本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí).第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2.第2課時(shí)介紹切割線(xiàn)定理及其推論，做例3.第3課時(shí)是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3.
（1）教師通過(guò)教學(xué)，組織學(xué)生自主觀(guān)察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的熱情；
（2）在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“觀(guān)察——猜想——證明——應(yīng)用”等，教師組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展教學(xué)活動(dòng).
：
1.理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算；
2.學(xué)會(huì)作兩條已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)；
3.通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神；
4.通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法.
：
正確理解相交弦定理及其推論.
：
在定理的敘述和應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線(xiàn)段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯(cuò)誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)出定理.
情境
1、結(jié)合圖形讓學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理：在⊙o中；弦ab，cd相交于點(diǎn)p，那么pa·pb＝pc·pd.
2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.
對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，ab是直徑，并且ab⊥cd于p.
提問(wèn)：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論?
指出：pc2＝pa·pb.
請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確.教師糾正，并板書(shū).
3、深刻理解推論：由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)c向直徑ab作垂線(xiàn)，垂足是p，則pc2＝pa·pb.?
若再連結(jié)ac，bc，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有：
pc2＝pa·pb ；ac2＝ap·ab；cb2＝bp·ab
例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(zhǎng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng).
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解.
例2? 已知：線(xiàn)段a，b.
求作：線(xiàn)段c，使c2＝ab.
分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線(xiàn)段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線(xiàn)段.
作法：口述作法.
這個(gè)作圖是作兩已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用.同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖.
練習(xí)1 如圖，ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp＝1厘米，求cd.
變式練習(xí)：若ap＝2厘米，pb＝2.5厘米，cp，dp的長(zhǎng)度皆為整數(shù).那么cd的長(zhǎng)度是 多少?
將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生興趣
練習(xí)2 如圖，cd是⊙o的直徑，ab⊥cd，垂足為p，ap＝4厘米，pd＝2厘米.求po的長(zhǎng).
練習(xí)3? 如圖：在⊙o中，p是弦ab上一點(diǎn)，op⊥pc，pc 交⊙o于c.? 求證：pc2＝pa·pb?
引導(dǎo)學(xué)生分析：由ap·pb，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(zhǎng) cp交⊙o于d，于是有pc·pd＝pa·pb.又根據(jù)條件op⊥pc.易 證得pc＝pd問(wèn)題得證.
（
知識(shí)：相交弦定理及其推論；
能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力；
思想方法：了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法.
教材p132中 9，10；p134中b組4(1).
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1.掌握切割線(xiàn)定理及其推論，并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證明；
2.掌握構(gòu)造相似三角形證明切割線(xiàn)定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力
3.能夠用運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)切割線(xiàn)定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀(guān)點(diǎn).
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理解切割線(xiàn)定理及其推論，它是以后中經(jīng)常用到的重要定理.
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定理的靈活運(yùn)用以及定理與推論問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系是難點(diǎn).
1、引出問(wèn)題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn).如果兩弦延長(zhǎng)交于圓外一點(diǎn)p，那么該點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的四條線(xiàn)段pa，pb，pc，pd的長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？(如圖1)
當(dāng)其中一條割線(xiàn)繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時(shí)，由圓外這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)和該點(diǎn)的切線(xiàn)長(zhǎng)pa，pb，pt之間又有什么關(guān)系？
2、猜想：引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線(xiàn)段pt，pa，pb間的關(guān)系為pt2=pa·pb.
3、證明：
讓學(xué)生根據(jù)圖2寫(xiě)出已知、求證，并進(jìn)行分析、證明猜想.
分析：要證pt2=pa·pb，? 可以證明，為此可證以 pa·pt為邊的三角形與以pt，bp為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線(xiàn)tp，pb.(圖3).容易證明∠pta=∠b又∠p=∠p，因此△bpt∽△tpa，于是問(wèn)題可證.
4、引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)上述結(jié)論.
（二）切割線(xiàn)定理的推論
1、再提出問(wèn)題：當(dāng)pb、pd為兩條割線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段pa，pb，pc，pd之間有什么關(guān)系?
觀(guān)察圖4，提出猜想：pa·pb=pc·pd.
2、組織學(xué)生用多種方法證明：
方法一：要證pa·pb=pc·pd，可證此可證以pa，pc為邊的三角形和以pd，pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ac，bd，容易證明∠pac=∠d，∠p=∠p，因此△pac∽△pdb.? (如圖4)
方法二：要證，還可考慮證明以pa，pd為邊的三角形和以pc、pb為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線(xiàn)ad、cb.容易證明∠b=∠d，又∠p=∠p.? 因此△pad∽△pcb.(如圖5)
方法三：引導(dǎo)學(xué)生再次觀(guān)察圖2，2=pa·pb，同時(shí)pt2=pc·pd，于是可以得出pa·pb=pc··pb=pc·pd
（三）初步應(yīng)用
例1? 已知：如圖6，⊙o的割線(xiàn)pab交⊙o于點(diǎn)a和b，pa=6厘米，ab=8厘米， po=109厘米，求⊙o的半徑.
分析：由于po既不是⊙o的切線(xiàn)也不是割線(xiàn)，故須將po延長(zhǎng)交⊙o于d，構(gòu)成了圓的一條割線(xiàn)，而od又恰好是⊙o的半徑，于是運(yùn)用切割線(xiàn)定理的推論，問(wèn)題得解.
（解略）教師示范解題.
例2? 已知如圖7，線(xiàn)段ab和⊙o交于點(diǎn)c，d，ac＝bd，ae，bf分別切⊙o于點(diǎn)e，f，
求證：ae＝bf.
分析：要證明的兩條線(xiàn)段ae，bf均與⊙o相切，且從a、b 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線(xiàn)acd和bdc在同一直線(xiàn)上，且ac＝bd，ad＝bc.? 因此它們的積相等，問(wèn)題得證.
學(xué)生自主完成，教師隨時(shí)糾正學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如ae2＝ac·cd和bf2＝bd·dc等.
?
（四）小結(jié)
知識(shí)：切割線(xiàn)定理及推論；
能力：結(jié)合具體圖形時(shí)，應(yīng)能寫(xiě)出正確的等積式；
方法：在證明切割線(xiàn)定理和推論時(shí)，所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地掌握.
（五）作業(yè)?教材p132中，11、12題.
最佳射門(mén)位置
國(guó)際足聯(lián)規(guī)定法國(guó)世界杯決賽階段，比賽場(chǎng)地長(zhǎng)105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳射門(mén)位置(精確到l米).
分析與解 是足球門(mén)，點(diǎn)p是邊鋒所在的位置.最佳射門(mén)位置應(yīng)是使球員對(duì)足球門(mén)視角最大的位置，即向p上方或下方移動(dòng)，視角都變小，因此點(diǎn)p實(shí)際上是過(guò)a、b且與邊線(xiàn)相切的圓的切點(diǎn)，如圖1所示.即op是圓的切線(xiàn)，而ob是圓的割線(xiàn).
故 ，又 ，
ob=3034+732＝3766.
op=(米).
注：上述解法適用于更一般情形.如圖2所示.△bop可為任意角.
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